Lös 2x^2-3x-14=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 14 = 0$$

Lös ut x

$$x=-2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 2x^{2}+ax+bx-14. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Lösningen är det par som ger Summa -3.

$$a=-7 b=4$$

Skriv om 2x^{2}-3x-14 som \left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right)$$

Utfaktor x i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$x\left(2x-7\right)+2\left(2x-7\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-7 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-7\right)\left(x+2\right)$$

Lös 2x-7=0 och x+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -3 och c med -14 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -14.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Addera 9 till 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 2}$$

Motsatsen till -3 är 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{3±11}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±11}{4} när ± är plus. Addera 3 till 11.

$$x=\frac{14}{4}$$

Minska bråktalet \frac{14}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±11}{4} när ± är minus. Subtrahera 11 från 3.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Dela -8 med 4.

$$x=-2$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Addera 14 till båda ekvationsled.

$$2x^{2}-3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Subtraktion av -14 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}-3x=-\left(-14\right)$$

Subtrahera -14 från 0.

$$2x^{2}-3x=14$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{14}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Dela 14 med 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Dividera -\frac{3}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Addera 7 till \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Addera \frac{3}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$