Lös 2x^2-2x-1<0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 < 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 2 med a, -2 med b och -1 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Lös ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

För att produkten ska vara negativ, x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} och x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} måste vara av motsatta tecken. Överväg om x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} är positivt och x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} är negativt.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Överväg om x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} är positivt och x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} är negativt.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$