Lös 2x^2-19x-10=0

$$2 x ^ { 2 } - 19 x - 10 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=10$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 2x^{2}+ax+bx-10. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-19 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -19.

$$a=-20 b=1$$

Skriv om 2x^{2}-19x-10 som \left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right).

$$\left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right)$$

Bryt ut 2x i 2x^{2}-20x.

$$2x\left(x-10\right)+x-10$$

Bryt ut den gemensamma termen x-10 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-10\right)\left(2x+1\right)$$

Lös x-10=0 och 2x+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -19 och c med -10 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -10.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+80}}{2\times 2}$$

Addera 361 till 80.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 441.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±21}{2\times 2}$$

Motsatsen till -19 är 19.

$$x=\frac{19±21}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{19±21}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{19±21}{4} när ± är plus. Addera 19 till 21.

$$x=\frac{40}{4}$$

Dela 40 med 4.

$$x=10$$

Lös nu ekvationen x=\frac{19±21}{4} när ± är minus. Subtrahera 21 från 19.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Addera 10 till båda ekvationsled.

$$2x^{2}-19x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Subtraktion av -10 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}-19x=-\left(-10\right)$$

Subtrahera -10 från 0.

$$2x^{2}-19x=10$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}-19x}{2}=\frac{10}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=\frac{10}{2}$$

Dela 10 med 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=5$$

Dividera -\frac{19}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{19}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{19}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=5+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{19}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=5+\frac{361}{16}$$

Addera 5 till \frac{361}{16}.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{21}{4}$$

Addera \frac{19}{4} till båda ekvationsled.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$