Lös 2x^2-11x+14=0

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 14 = 0$$

Lös ut x

$$x=2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 2x^{2}+ax+bx+14. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-11 ab=2\times 14=28$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Lösningen är det par som ger Summa -11.

$$a=-7 b=-4$$

Skriv om 2x^{2}-11x+14 som \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-4x+14\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-4x+14\right)$$

Utfaktor x i den första och den -2 i den andra gruppen.

$$x\left(2x-7\right)-2\left(2x-7\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-7 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-7\right)\left(x-2\right)$$

Lös 2x-7=0 och x-2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{7}{2} x=2$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}-11x+14=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -11 och c med 14 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Kvadrera -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 14}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2\times 2}$$

Addera 121 till -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2\times 2}$$

Motsatsen till -11 är 11.

$$x=\frac{11±3}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{11±3}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{11±3}{4} när ± är plus. Addera 11 till 3.

$$x=\frac{14}{4}$$

Minska bråktalet \frac{14}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{11±3}{4} när ± är minus. Subtrahera 3 från 11.

$$x=\frac{8}{4}$$

Dela 8 med 4.

$$x=2$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{7}{2} x=2$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x+14=0$$

Subtrahera 14 från båda ekvationsled.

$$2x^{2}-11x+14-14=-14$$

Subtraktion av 14 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}-11x=-14$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{14}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{14}{2}$$

Dela -14 med 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-7$$

Dividera -\frac{11}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{11}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{11}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{11}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-7+\frac{121}{16}$$

Addera -7 till \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{3}{4}$$

Addera \frac{11}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{7}{2} x=2$$