Lös 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Lös ut x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Lösningssteg

Subtrahera 6 från båda ekvationsled.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Kvadrera 2x^{2}-10x-6.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Utveckla \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Beräkna 11 upphöjt till 2 och få 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x^{2}-5x} upphöjt till 2 och få x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 121 med x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Subtrahera 121x^{2} från båda led.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Slå ihop 76x^{2} och -121x^{2} för att få -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Lägg till 605x på båda sidorna.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Slå ihop 120x och 605x för att få 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Av rationella rot Binomialsatsen är alla rationella rötter till en polynom i form \frac{p}{q}, där p delar upp konstanten 36 och q delar upp den inledande koefficienten 4. Visa en lista över alla kandidater \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Hitta en sådan rot genom att testa alla heltalsvärden, med början från det minsta efter absolut värde. Om inga heltalsrötter hittas kan du försöka med bråktal.

$$x=-4$$

Enligt faktor Binomialsatsen är x-k faktorn för varje rot k. Dividera 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 med x+4 för att få 4x^{3}-56x^{2}+179x+9. Lös ekvationen där resultatet är lika med 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Av rationella rot Binomialsatsen är alla rationella rötter till en polynom i form \frac{p}{q}, där p delar upp konstanten 9 och q delar upp den inledande koefficienten 4. Visa en lista över alla kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Hitta en sådan rot genom att testa alla heltalsvärden, med början från det minsta efter absolut värde. Om inga heltalsrötter hittas kan du försöka med bråktal.

$$x=9$$

Enligt faktor Binomialsatsen är x-k faktorn för varje rot k. Dividera 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 med x-9 för att få 4x^{2}-20x-1. Lös ekvationen där resultatet är lika med 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 4 med a, -20 med b och -1 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Lös ekvationen 4x^{2}-20x-1=0 när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Visa alla lösningar som hittades.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Ersätt x med -4 i ekvationen 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Förenkla. Värdet x=-4 uppfyller ekvationen.

$$72=72$$

Ersätt x med 9 i ekvationen 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Förenkla. Värdet x=9 uppfyller ekvationen.

$$72=72$$

Ersätt x med \frac{5-\sqrt{26}}{2} i ekvationen 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Förenkla. Värdet x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} uppfyller inte ekvationen.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Ersätt x med \frac{\sqrt{26}+5}{2} i ekvationen 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Förenkla. Värdet x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} uppfyller inte ekvationen.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Lista alla lösningar på 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$