Lös 2x^2+7x+5=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Lös ekvationen genom att faktorisera den vänstra delen med gruppering. Först måste den vänstra sidan skrivas om som 2x^{2}+ax+bx+5. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 10.

$$1,10 2,5$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+10=11 2+5=7$$

Lösningen är det par som ger Summa 7.

$$a=2 b=5$$

Skriv om 2x^{2}+7x+5 som \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Bryt ut 2x i den första och 5 i den andra gruppen.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Lös x+1=0 och 2x+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 7 och c med 5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Kvadrera 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Addera 49 till -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-7±3}{4} när ± är plus. Addera -7 till 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Dela -4 med 4.

$$x=-1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-7±3}{4} när ± är minus. Subtrahera 3 från -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-10}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Dividera \frac{7}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{7}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{7}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{7}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Addera -\frac{5}{2} till \frac{49}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Subtrahera \frac{7}{4} från båda ekvationsled.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$