Lös 2x^2+6x+8=0

$$2 x ^ { 2 } + 6 x + 8 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}\approx -1,5+1,322875656i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}\approx -1,5-1,322875656i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}+6x+8=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 6 och c med 8 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Kvadrera 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\times 8}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-64}}{2\times 2}$$

Addera 36 till -64.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-28}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur -28.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{7}i}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-6±2\sqrt{7}i}{4} när ± är plus. Addera -6 till 2i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{7}i}{4}$$

Dela -6+2i\sqrt{7} med 4.

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-6±2\sqrt{7}i}{4} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{7} från -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}i-6}{4}$$

Dela -6-2i\sqrt{7} med 4.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+6x+8=0$$

Subtrahera 8 från båda ekvationsled.

$$2x^{2}+6x+8-8=-8$$

Subtraktion av 8 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}+6x=-8$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=-\frac{8}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=-\frac{8}{2}$$

Dela 6 med 2.

$$x^{2}+3x=-\frac{8}{2}$$

Dela -8 med 2.

$$x^{2}+3x=-4$$

Dividera 3, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-4+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-4+\frac{9}{4}$$

Addera -4 till \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{7}{4}$$

Faktorisera x^{2}+3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Subtrahera \frac{3}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-3+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-3}{2}$$