Lös 2x^2+5x-12=0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 12 = 0$$

Lös ut x

$$x=-4$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 2x^{2}+ax+bx-12. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Lösningen är det par som ger Summa 5.

$$a=-3 b=8$$

Skriv om 2x^{2}+5x-12 som \left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right)$$

Utfaktor x i den första och den 4 i den andra gruppen.

$$x\left(2x-3\right)+4\left(2x-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-3\right)\left(x+4\right)$$

Lös 2x-3=0 och x+4=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 5 och c med -12 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

Addera 25 till 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{-5±11}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±11}{4} när ± är plus. Addera -5 till 11.

$$x=\frac{6}{4}$$

Minska bråktalet \frac{6}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±11}{4} när ± är minus. Subtrahera 11 från -5.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Dela -16 med 4.

$$x=-4$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Addera 12 till båda ekvationsled.

$$2x^{2}+5x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Subtraktion av -12 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}+5x=-\left(-12\right)$$

Subtrahera -12 från 0.

$$2x^{2}+5x=12$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{12}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{12}{2}$$

Dela 12 med 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=6$$

Dividera \frac{5}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{5}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{5}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{5}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

Addera 6 till \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

Subtrahera \frac{5}{4} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$