Lös 2x^2+4x-2leq0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x - 2 \leq 0$$

Lös ut x

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+4x-2=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 2 med a, 4 med b och -2 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{4}$$

Lös ekvationen x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{4} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}-1\right)\right)\left(x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\right)\leq 0$$

För att produkten skall kunna ≤0 måste ett av värdena x-\left(\sqrt{2}-1\right) och x-\left(-\sqrt{2}-1\right) ≥0 och den andra vara ≤0. Tänk på fallet när x-\left(\sqrt{2}-1\right)\geq 0 och x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}-1\right)\geq 0 x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\leq 0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Tänk på fallet när x-\left(\sqrt{2}-1\right)\leq 0 och x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\geq 0.

$$x-\left(-\sqrt{2}-1\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}-1\right)\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left[-\left(\sqrt{2}+1\right),\sqrt{2}-1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\left(\sqrt{2}+1\right),\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1\end{bmatrix}$$