Lös 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 2x^{2}+ax+bx-90. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Lösningen är det par som ger Summa 3.

$$a=-12 b=15$$

Skriv om 2x^{2}+3x-90 som \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 15 i den andra gruppen.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-6 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Lös x-6=0 och 2x+15=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 3 och c med -90 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Addera 9 till 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±27}{4} när ± är plus. Addera -3 till 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Dela 24 med 4.

$$x=6$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±27}{4} när ± är minus. Subtrahera 27 från -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-30}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Addera 90 till båda ekvationsled.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Subtraktion av -90 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Subtrahera -90 från 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Dela 90 med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Dividera \frac{3}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Addera 45 till \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Subtrahera \frac{3}{4} från båda ekvationsled.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$