Lös 2x^2+3x-20=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

Lös ut x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 2x^{2}+ax+bx-20. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Lösningen är det par som ger Summa 3.

$$a=-5 b=8$$

Skriv om 2x^{2}+3x-20 som \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

Utfaktor x i den första och den 4 i den andra gruppen.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

Lös 2x-5=0 och x+4=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 3 och c med -20 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

Addera 9 till 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 169.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±13}{4} när ± är plus. Addera -3 till 13.

$$x=\frac{10}{4}$$

Minska bråktalet \frac{10}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±13}{4} när ± är minus. Subtrahera 13 från -3.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Dela -16 med 4.

$$x=-4$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Addera 20 till båda ekvationsled.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Subtraktion av -20 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

Subtrahera -20 från 0.

$$2x^{2}+3x=20$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

Dela 20 med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

Dividera \frac{3}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Addera 10 till \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Subtrahera \frac{3}{4} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$