Lös 2x^2+3x+172=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x + 172 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{1367}i}{4}\approx -0,75+9,243240774i$$

$$x=\frac{-\sqrt{1367}i-3}{4}\approx -0,75-9,243240774i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}+3x+172=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 3 och c med 172 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 172}}{2\times 2}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 172}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 172}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 172.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-1376}}{2\times 2}$$

Addera 9 till -1376.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-1367}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur -1367.

$$x=\frac{-3±\sqrt{1367}i}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{1367}i}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{1367}i}{4} när ± är plus. Addera -3 till i\sqrt{1367}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{1367}i}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{1367}i}{4} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{1367} från -3.

$$x=\frac{-\sqrt{1367}i-3}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-3+\sqrt{1367}i}{4} x=\frac{-\sqrt{1367}i-3}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x+172=0$$

Subtrahera 172 från båda ekvationsled.

$$2x^{2}+3x+172-172=-172$$

Subtraktion av 172 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}+3x=-172$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=-\frac{172}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{172}{2}$$

Dela -172 med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-86$$

Dividera \frac{3}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-86+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-86+\frac{9}{16}$$

Addera -86 till \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1367}{16}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1367}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1367}{16}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{1367}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{1367}i}{4}$$

Subtrahera \frac{3}{4} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-3+\sqrt{1367}i}{4} x=\frac{-\sqrt{1367}i-3}{4}$$