Lös 2x^2+2x+2=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 2 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}+2x+2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 2 och c med 2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16}}{2\times 2}$$

Addera 4 till -16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur -12.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{3}i}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{3}i}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{3}i}{4} när ± är plus. Addera -2 till 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{3}i}{4}$$

Dela -2+2i\sqrt{3} med 4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{3}i}{4} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{3} från -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-2}{4}$$

Dela -2-2i\sqrt{3} med 4.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+2=0$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$2x^{2}+2x+2-2=-2$$

Subtraktion av 2 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}+2x=-2$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{2}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{2}{2}$$

Dela 2 med 2.

$$x^{2}+x=-\frac{2}{2}$$

Dela -2 med 2.

$$x^{2}+x=-1$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Addera -1 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$