Lös 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 2 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Addera 4 till -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2i}{4} när ± är plus. Addera -2 till 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Dela -2+2i med 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2i}{4} när ± är minus. Subtrahera 2i från -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Dela -2-2i med 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Dela 2 med 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Addera -\frac{1}{2} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$