Lös 2x=2y+14text{ANO}3y=-5x+3

$$2 x = 2 y + 14 \text { ANO } 3 y = - 5 x + 3$$

Lös ut x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 2y från båda led.

$$2x-2y=14$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till 5x på båda sidorna.

$$3y+5x=3$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$2x-2y=14$$

Addera 2y till båda ekvationsled.

$$2x=2y+14$$

Dividera båda led med 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+14\right)$$

Multiplicera \frac{1}{2} med 14+2y.

$$x=y+7$$

Ersätt x med y+7 i den andra ekvationen, 5x+3y=3.

$$5\left(y+7\right)+3y=3$$

Multiplicera 5 med y+7.

$$5y+35+3y=3$$

Addera 5y till 3y.

$$8y+35=3$$

Subtrahera 35 från båda ekvationsled.

$$8y=-32$$

Dividera båda led med 8.

$$y=-4$$

Ersätt y med -4 i x=y+7. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-4+7$$

Addera 7 till -4.

$$x=3$$

Systemet har lösts.

$$x=3,y=-4$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 2y från båda led.

$$2x-2y=14$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till 5x på båda sidorna.

$$3y+5x=3$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{5}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=3,y=-4$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 2y från båda led.

$$2x-2y=14$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till 5x på båda sidorna.

$$3y+5x=3$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Gör 2x och 5x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 5 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 2.

$$5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 14,2\times 5x+2\times 3y=2\times 3$$

Förenkla.

$$10x-10y=70,10x+6y=6$$

Subtrahera 10x+6y=6 från 10x-10y=70 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$10x-10x-10y-6y=70-6$$

Addera 10x till -10x. Termerna 10x och -10x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-10y-6y=70-6$$

Addera -10y till -6y.

$$-16y=70-6$$

Addera 70 till -6.

$$-16y=64$$

Dividera båda led med -16.

$$y=-4$$

Ersätt y med -4 i 5x+3y=3. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$5x+3\left(-4\right)=3$$

Multiplicera 3 med -4.

$$5x-12=3$$

Addera 12 till båda ekvationsled.

$$5x=15$$

Dividera båda led med 5.

$$x=3$$

Systemet har lösts.

$$x=3,y=-4$$