Lös 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Lös ut x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$2x+y=1$$

Subtrahera y från båda ekvationsled.

$$2x=-y+1$$

Dividera båda led med 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Multiplicera \frac{1}{2} med -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Ersätt x med \frac{-y+1}{2} i den andra ekvationen, x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Addera -\frac{y}{2} till -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Dela båda ekvationsled med -\frac{3}{2}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=3$$

Ersätt y med 3 i x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Multiplicera -\frac{1}{2} med 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till -\frac{3}{2} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=-1$$

Systemet har lösts.

$$x=-1,y=3$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=-1,y=3$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Gör 2x och x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 1 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Förenkla.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Subtrahera 2x-2y=-8 från 2x+y=1 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Addera 2x till -2x. Termerna 2x och -2x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$y+2y=1+8$$

Addera y till 2y.

$$3y=1+8$$

Addera 1 till 8.

$$3y=9$$

Dividera båda led med 3.

$$y=3$$

Ersätt y med 3 i x-y=-4. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x-3=-4$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$x=-1$$

Systemet har lösts.

$$x=-1,y=3$$