Lös 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Lös ut x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x på vänster sida om likhetstecknet.

$$2x+3y=6$$

Subtrahera 3y från båda ekvationsled.

$$2x=-3y+6$$

Dividera båda led med 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Multiplicera \frac{1}{2} med -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Ersätt x med -\frac{3y}{2}+3 i den andra ekvationen, 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Multiplicera 6 med -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Addera -9y till -5y.

$$-14y+18=4$$

Subtrahera 18 från båda ekvationsled.

$$-14y=-14$$

Dividera båda led med -14.

$$y=1$$

Ersätt y med 1 i x=-\frac{3}{2}y+3. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Addera 3 till -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Gör 2x och 6x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 6 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Förenkla.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Subtrahera 12x-10y=8 från 12x+18y=36 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Addera 12x till -12x. Termerna 12x och -12x förkortas och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$18y+10y=36-8$$

Addera 18y till 10y.

$$28y=36-8$$

Addera 36 till -8.

$$28y=28$$

Dividera båda led med 28.

$$y=1$$

Ersätt y med 1 i 6x-5y=4. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$6x-5=4$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$6x=9$$

Dividera båda led med 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$