Lös 2t^2-9t+9=0

$$2 t ^ { 2 } - 9 t + 9 = 0$$

Lös ut t

$$t = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$t=3$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 2t^{2}+at+bt+9. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-9 ab=2\times 9=18$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Lösningen är det par som ger Summa -9.

$$a=-6 b=-3$$

Skriv om 2t^{2}-9t+9 som \left(2t^{2}-6t\right)+\left(-3t+9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(-3t+9\right)$$

Utfaktor 2t i den första och den -3 i den andra gruppen.

$$2t\left(t-3\right)-3\left(t-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen t-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(t-3\right)\left(2t-3\right)$$

Lös t-3=0 och 2t-3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2t^{2}-9t+9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -9 och c med 9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Kvadrera -9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 9}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72}}{2\times 2}$$

Addera 81 till -72.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±3}{2\times 2}$$

Motsatsen till -9 är 9.

$$t=\frac{9±3}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$t=\frac{9±3}{4}$$

Lös nu ekvationen t=\frac{9±3}{4} när ± är plus. Addera 9 till 3.

$$t=\frac{12}{4}$$

Dela 12 med 4.

$$t=3$$

Lös nu ekvationen t=\frac{9±3}{4} när ± är minus. Subtrahera 3 från 9.

$$t=\frac{6}{4}$$

Minska bråktalet \frac{6}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$t=\frac{3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-9t+9=0$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$2t^{2}-9t+9-9=-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2t^{2}-9t=-9$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2t^{2}-9t}{2}=-\frac{9}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t=-\frac{9}{2}$$

Dividera -\frac{9}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{9}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{9}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{9}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Addera -\frac{9}{2} till \frac{81}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktorisera t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Förenkla.

$$t-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} t-\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Addera \frac{9}{4} till båda ekvationsled.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$