Lös 2t^2-3t-9=0

$$2 t ^ { 2 } - 3 t - 9 = 0$$

Lös ut t

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$t=3$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 2t^{2}+at+bt-9. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-3 ab=2\left(-9\right)=-18$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Lösningen är det par som ger Summa -3.

$$a=-6 b=3$$

Skriv om 2t^{2}-3t-9 som \left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right)$$

Utfaktor 2t i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen t-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(t-3\right)\left(2t+3\right)$$

Lös t-3=0 och 2t+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -3 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera -3.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -9.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+72}}{2\times 2}$$

Addera 9 till 72.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 81.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±9}{2\times 2}$$

Motsatsen till -3 är 3.

$$t=\frac{3±9}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$t=\frac{3±9}{4}$$

Lös nu ekvationen t=\frac{3±9}{4} när ± är plus. Addera 3 till 9.

$$t=\frac{12}{4}$$

Dela 12 med 4.

$$t=3$$

Lös nu ekvationen t=\frac{3±9}{4} när ± är minus. Subtrahera 9 från 3.

$$t=-\frac{6}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-6}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$t=-\frac{3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$2t^{2}-3t-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2t^{2}-3t=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$2t^{2}-3t=9$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2t^{2}-3t}{2}=\frac{9}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t=\frac{9}{2}$$

Dividera -\frac{3}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{9}{2}+\frac{9}{16}$$

Addera \frac{9}{2} till \frac{9}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktorisera t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Förenkla.

$$t-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} t-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}$$

Addera \frac{3}{4} till båda ekvationsled.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$