Lös 2r^2+5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

Lös ut r

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 2r^{2}+ar+br+2. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 4.

$$1,4 2,2$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+4=5 2+2=4$$

Lösningen är det par som ger Summa 5.

$$a=1 b=4$$

Skriv om 2r^{2}+5r+2 som \left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right).

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

Utfaktor r i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2r+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

Lös 2r+1=0 och r+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 5 och c med 2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Kvadrera 5.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

Addera 25 till -16.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 9.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{-5±3}{4} när ± är plus. Addera -5 till 3.

$$r=-\frac{2}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$r=-\frac{1}{2}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{-5±3}{4} när ± är minus. Subtrahera 3 från -5.

$$r=-\frac{8}{4}$$

Dela -8 med 4.

$$r=-2$$

Ekvationen har lösts.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

Subtraktion av 2 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2r^{2}+5r=-2$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

Dela -2 med 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

Dividera \frac{5}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{5}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{5}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{5}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Addera -1 till \frac{25}{16}.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktorisera r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Förenkla.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Subtrahera \frac{5}{4} från båda ekvationsled.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$