Lös 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Lös ut k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$k=-1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Lägg till 7 på båda sidorna.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 2k^{2}+ak+bk+7. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 14.

$$1,14 2,7$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+14=15 2+7=9$$

Lösningen är det par som ger Summa 9.

$$a=2 b=7$$

Skriv om 2k^{2}+9k+7 som \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Utfaktor 2k i den första och den 7 i den andra gruppen.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen k+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Lös k+1=0 och 2k+7=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Addera 7 till båda ekvationsled.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Subtraktion av -7 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Subtrahera -7 från 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 9 och c med 7 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Kvadrera 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Addera 81 till -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Lös nu ekvationen k=\frac{-9±5}{4} när ± är plus. Addera -9 till 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Dela -4 med 4.

$$k=-1$$

Lös nu ekvationen k=\frac{-9±5}{4} när ± är minus. Subtrahera 5 från -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-14}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Dividera \frac{9}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{9}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{9}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{9}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Addera -\frac{7}{2} till \frac{81}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Faktorisera k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Förenkla.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Subtrahera \frac{9}{4} från båda ekvationsled.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$