Lös 2z^2+3z+2=0

$$2 { z }^{ 2 } +3z+2=0$$

Lös ut z

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4}\approx -0,75+0,661437828i$$

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}\approx -0,75-0,661437828i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2z^{2}+3z+2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 3 och c med 2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Kvadrera 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 2.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-16}}{2\times 2}$$

Addera 9 till -16.

$$z=\frac{-3±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur -7.

$$z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4} när ± är plus. Addera -3 till i\sqrt{7}.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{7} från -3.

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4} z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}+3z+2=0$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$2z^{2}+3z+2-2=-2$$

Subtraktion av 2 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2z^{2}+3z=-2$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2z^{2}+3z}{2}=-\frac{2}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z=-\frac{2}{2}$$

Dela -2 med 2.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z=-1$$

Dividera \frac{3}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}=-1+\frac{9}{16}$$

Addera -1 till \frac{9}{16}.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Faktorisera z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(z+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Förenkla.

$$z+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} z+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Subtrahera \frac{3}{4} från båda ekvationsled.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4} z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$