Lös 2x^2-2x=1

$$2 { x }^{ 2 } -2x=1$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}-2x=1$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$2x^{2}-2x-1=1-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -2 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Addera 4 till 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} när ± är plus. Addera 2 till 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Dela 2+2\sqrt{3} med 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{3} från 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Dela 2-2\sqrt{3} med 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x=1$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Dela -2 med 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Addera \frac{1}{2} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$