Lös 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9,764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2,764982043$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -14 och c med -54 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

Addera 196 till 432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 628.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Motsatsen till -14 är 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} när ± är plus. Addera 14 till 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

Dela 14+2\sqrt{157} med 4.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{157} från 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

Dela 14-2\sqrt{157} med 4.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Addera 54 till båda ekvationsled.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Subtraktion av -54 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

Subtrahera -54 från 0.

$$2x^{2}-14x=54$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

Dela -14 med 2.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

Dela 54 med 2.

$$x^{2}-7x=27$$

Dividera -7, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

Addera 27 till \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

Faktorisera x^{2}-7x+\frac{49}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Addera \frac{7}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$