Lös 2x^2-13x+21=0

$$2 { x }^{ 2 } -13x+21 = 0$$

Lös ut x

$$x=3$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Lös ekvationen genom att faktorisera den vänstra delen med gruppering. Först måste den vänstra sidan skrivas om som 2x^{2}+ax+bx+21. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-13 ab=2\times 21=42$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Lösningen är det par som ger Summa -13.

$$a=-7 b=-6$$

Skriv om 2x^{2}-13x+21 som \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)$$

Bryt ut x i den första och -3 i den andra gruppen.

$$x\left(2x-7\right)-3\left(2x-7\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-7 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-7\right)\left(x-3\right)$$

Lös 2x-7=0 och x-3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -13 och c med 21 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Kvadrera -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 21.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\times 2}$$

Addera 169 till -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\times 2}$$

Motsatsen till -13 är 13.

$$x=\frac{13±1}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{13±1}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{13±1}{4} när ± är plus. Addera 13 till 1.

$$x=\frac{14}{4}$$

Minska bråktalet \frac{14}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{13±1}{4} när ± är minus. Subtrahera 1 från 13.

$$x=\frac{12}{4}$$

Dela 12 med 4.

$$x=3$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Subtrahera 21 från båda ekvationsled.

$$2x^{2}-13x+21-21=-21$$

Subtraktion av 21 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}-13x=-21$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{21}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Dividera -\frac{13}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{13}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{13}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{13}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{16}$$

Addera -\frac{21}{2} till \frac{169}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{1}{4}$$

Addera \frac{13}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$