Lös 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=8$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 2x^{2}+ax+bx-40. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Lösningen är det par som ger Summa -11.

$$a=-16 b=5$$

Skriv om 2x^{2}-11x-40 som \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-8 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Lös x-8=0 och 2x+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -11 och c med -40 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Addera 121 till 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Motsatsen till -11 är 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{11±21}{4} när ± är plus. Addera 11 till 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Dela 32 med 4.

$$x=8$$

Lös nu ekvationen x=\frac{11±21}{4} när ± är minus. Subtrahera 21 från 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-10}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Addera 40 till båda ekvationsled.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Subtraktion av -40 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Subtrahera -40 från 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Dela 40 med 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Dividera -\frac{11}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{11}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{11}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{11}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Addera 20 till \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Addera \frac{11}{4} till båda ekvationsled.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$