Lös 2x^2+3x+1>0

$$2 { x }^{ 2 } +3x+1 > 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(-\infty,-1\right)\cup \left(-\frac{1}{2},\infty\right)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+3x+1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 2 med a, 3 med b och 1 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{-3±1}{4}$$

Lös ekvationen x=\frac{-3±1}{4} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=-\frac{1}{2} x=-1$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)>0$$

För att produkten ska vara positiv, x+\frac{1}{2} och x+1 både negativa eller båda positiva. Tänk på när x+\frac{1}{2} och x+1 både är negativa.

$$x+\frac{1}{2}<0 x+1<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x<-1.

$$x<-1$$

Överväg om x+\frac{1}{2} och x+1 båda är positiva.

$$x+1>0 x+\frac{1}{2}>0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x>-\frac{1}{2}.

$$x>-\frac{1}{2}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x<-1\text{; }x>-\frac{1}{2}$$