Lös 2+y(1-3y)=y(y-3)

$$2 + y ( 1 - 3 y ) = y ( y - 3 )$$

Lös ut y

$$y = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Steg med lösningsformeln

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera y med 1-3y.

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera y med y-3.

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

Subtrahera y^{2} från båda led.

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

Slå ihop -3y^{2} och -y^{2} för att få -4y^{2}.

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

Lägg till 3y på båda sidorna.

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

Slå ihop y och 3y för att få 4y.

$$2+4y-4y^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-4y^{2}+4y+2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -4, b med 4 och c med 2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrera 4.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera -4 med -4.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+16\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 16 med 2.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+32}}{2\left(-4\right)}$$

Addera 16 till 32.

$$y=\frac{-4±\sqrt{48}}{2\left(-4\right)}$$

Dra kvadratroten ur 48.

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 2 med -4.

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8} när ± är plus. Addera -4 till 4\sqrt{3}.

$$y=\frac{4\sqrt{3}-4}{-8}$$

Dela -4+4\sqrt{3} med -8.

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8} när ± är minus. Subtrahera 4\sqrt{3} från -4.

$$y=\frac{-4\sqrt{3}-4}{-8}$$

Dela -4-4\sqrt{3} med -8.

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2} y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera y med 1-3y.

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera y med y-3.

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

Subtrahera y^{2} från båda led.

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

Slå ihop -3y^{2} och -y^{2} för att få -4y^{2}.

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

Lägg till 3y på båda sidorna.

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

Slå ihop y och 3y för att få 4y.

$$2+4y-4y^{2}=0$$

Subtrahera 2 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$4y-4y^{2}=-2$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-4y^{2}+4y=-2$$

Dividera båda led med -4.

$$\frac{-4y^{2}+4y}{-4}=-\frac{2}{-4}$$

Division med -4 tar ut multiplikationen med -4.

$$y^{2}+\frac{4}{-4}y=-\frac{2}{-4}$$

Dela 4 med -4.

$$y^{2}-y=-\frac{2}{-4}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{-4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$y^{2}-y=\frac{1}{2}$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Addera \frac{1}{2} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktorisera y^{2}-y+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Förenkla.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2} y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$