Lös 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Lös ekvationen genom att faktorisera den vänstra delen med gruppering. Först måste den vänstra sidan skrivas om som 18x^{2}+ax+bx-5. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -9.

$$a=-15 b=6$$

Skriv om 18x^{2}-9x-5 som \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Bryt ut 3x i 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Bryt ut den gemensamma termen 6x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Lös 6x-5=0 och 3x+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 18, b med -9 och c med -5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Kvadrera -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplicera -4 med 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplicera -72 med -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Addera 81 till 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Dra kvadratroten ur 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Motsatsen till -9 är 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Multiplicera 2 med 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{9±21}{36} när ± är plus. Addera 9 till 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Minska bråktalet \frac{30}{36} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{9±21}{36} när ± är minus. Subtrahera 21 från 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Minska bråktalet \frac{-12}{36} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Subtraktion av -5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Subtrahera -5 från 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Dividera båda led med 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Division med 18 tar ut multiplikationen med 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Minska bråktalet \frac{-9}{18} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Dividera -\frac{1}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Addera \frac{5}{18} till \frac{1}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Addera \frac{1}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$