Lös 16x^2+64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } + 64 x + 65 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=-2+\frac{1}{4}i=-2+0,25i$$

$$x=-2-\frac{1}{4}i=-2-0,25i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$16x^{2}+64x+65=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 16, b med 64 och c med 65 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Kvadrera 64.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Multiplicera -4 med 16.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Multiplicera -64 med 65.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Addera 4096 till -4160.

$$x=\frac{-64±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Dra kvadratroten ur -64.

$$x=\frac{-64±8i}{2\times 16}$$

Multiplicera 2 med 16.

$$x=\frac{-64±8i}{32}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-64±8i}{32} när ± är plus. Addera -64 till 8i.

$$x=\frac{-64+8i}{32}$$

Dela -64+8i med 32.

$$x=-2+\frac{1}{4}i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-64±8i}{32} när ± är minus. Subtrahera 8i från -64.

$$x=\frac{-64-8i}{32}$$

Dela -64-8i med 32.

$$x=-2-\frac{1}{4}i$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-2+\frac{1}{4}i x=-2-\frac{1}{4}i$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+64x+65=0$$

Subtrahera 65 från båda ekvationsled.

$$16x^{2}+64x+65-65=-65$$

Subtraktion av 65 från sig självt ger 0 som resultat.

$$16x^{2}+64x=-65$$

Dividera båda led med 16.

$$\frac{16x^{2}+64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

Division med 16 tar ut multiplikationen med 16.

$$x^{2}+\frac{64}{16}x=-\frac{65}{16}$$

Dela 64 med 16.

$$x^{2}+4x=-\frac{65}{16}$$

Dividera 4, koefficienten för termen x, med 2 för att få 2. Addera sedan kvadraten av 2 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{65}{16}+2^{2}$$

Kvadrera 2.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Addera -\frac{65}{16} till 4.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{1}{16}$$

Faktorisera x^{2}+4x+4. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Förenkla.

$$x+2=\frac{1}{4}i x+2=-\frac{1}{4}i$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$x=-2+\frac{1}{4}i x=-2-\frac{1}{4}i$$