Lös 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 16x^{2}+ax+bx-9. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Lösningen är det par som ger Summa 10.

$$a=-8 b=18$$

Skriv om 16x^{2}+10x-9 som \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Utfaktor 8x i den första och den 9 i den andra gruppen.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Lös 2x-1=0 och 8x+9=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 16, b med 10 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Kvadrera 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicera -4 med 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicera -64 med -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Addera 100 till 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Dra kvadratroten ur 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Multiplicera 2 med 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-10±26}{32} när ± är plus. Addera -10 till 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Minska bråktalet \frac{16}{32} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-10±26}{32} när ± är minus. Subtrahera 26 från -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Minska bråktalet \frac{-36}{32} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Dividera båda led med 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Division med 16 tar ut multiplikationen med 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Minska bråktalet \frac{10}{16} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Dividera \frac{5}{8}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{5}{16}. Addera sedan kvadraten av \frac{5}{16} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{5}{16} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Addera \frac{9}{16} till \frac{25}{256} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Subtrahera \frac{5}{16} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$