Lös 15z^2+34z+15>0

$$15 z ^ { 2 } + 34 z + 15 > 0$$

Lös ut z

$$z\in \left(-\infty,-\frac{5}{3}\right)\cup \left(-\frac{3}{5},\infty\right)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$15z^{2}+34z+15=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 15 med a, 34 med b och 15 med c i lösningsformeln.

$$z=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\times 15\times 15}}{2\times 15}$$

Gör beräkningarna.

$$z=\frac{-34±16}{30}$$

Lös ekvationen z=\frac{-34±16}{30} när ± är plus och när ± är minus.

$$z=-\frac{3}{5} z=-\frac{5}{3}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$15\left(z+\frac{3}{5}\right)\left(z+\frac{5}{3}\right)>0$$

För att produkten ska vara positiv, z+\frac{3}{5} och z+\frac{5}{3} både negativa eller båda positiva. Tänk på när z+\frac{3}{5} och z+\frac{5}{3} både är negativa.

$$z+\frac{3}{5}<0 z+\frac{5}{3}<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är z<-\frac{5}{3}.

$$z<-\frac{5}{3}$$

Överväg om z+\frac{3}{5} och z+\frac{5}{3} båda är positiva.

$$z+\frac{5}{3}>0 z+\frac{3}{5}>0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är z>-\frac{3}{5}.

$$z>-\frac{3}{5}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$z<-\frac{5}{3}\text{; }z>-\frac{3}{5}$$