Lös 15x^2-97x+1=0

$$15 x ^ { 2 } - 97 x + 1 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{9349} + 97}{30} \approx 6,4563409$$

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}\approx 0,010325766$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 15, b med -97 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{\left(-97\right)^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Kvadrera -97.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-4\times 15}}{2\times 15}$$

Multiplicera -4 med 15.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-60}}{2\times 15}$$

Addera 9409 till -60.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

Motsatsen till -97 är 97.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

Multiplicera 2 med 15.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30} när ± är plus. Addera 97 till \sqrt{9349}.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{9349} från 97.

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$15x^{2}-97x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$15x^{2}-97x=-1$$

Dividera båda led med 15.

$$\frac{15x^{2}-97x}{15}=-\frac{1}{15}$$

Division med 15 tar ut multiplikationen med 15.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x=-\frac{1}{15}$$

Dividera -\frac{97}{15}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{97}{30}. Addera sedan kvadraten av -\frac{97}{30} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{97}{30} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=-\frac{1}{15}+\frac{9409}{900}$$

Addera -\frac{1}{15} till \frac{9409}{900} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=\frac{9349}{900}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}=\frac{9349}{900}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9349}{900}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{97}{30}=\frac{\sqrt{9349}}{30} x-\frac{97}{30}=-\frac{\sqrt{9349}}{30}$$

Addera \frac{97}{30} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$