Lös 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 15x^{2}+ax+bx+2. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Lösningen är det par som ger Summa 11.

$$a=5 b=6$$

Skriv om 15x^{2}+11x+2 som \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Utfaktor 5x i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Lös 3x+1=0 och 5x+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 15, b med 11 och c med 2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Kvadrera 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplicera -4 med 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplicera -60 med 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Addera 121 till -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Dra kvadratroten ur 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Multiplicera 2 med 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-11±1}{30} när ± är plus. Addera -11 till 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Minska bråktalet \frac{-10}{30} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-11±1}{30} när ± är minus. Subtrahera 1 från -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Minska bråktalet \frac{-12}{30} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Subtraktion av 2 från sig självt ger 0 som resultat.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Dividera båda led med 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Division med 15 tar ut multiplikationen med 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Dividera \frac{11}{15}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{11}{30}. Addera sedan kvadraten av \frac{11}{30} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{11}{30} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Addera -\frac{2}{15} till \frac{121}{900} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Subtrahera \frac{11}{30} från båda ekvationsled.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$