Lös 15p^2+7p-2

$$15 p ^ { 2 } + 7 p - 2$$

Faktorisera

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 15p^{2}+ap+bp-2. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 7.

$$a=-3 b=10$$

Skriv om 15p^{2}+7p-2 som \left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right).

$$\left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right)$$

Utfaktor 3p i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$3p\left(5p-1\right)+2\left(5p-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 5p-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$15p^{2}+7p-2=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$p=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Kvadrera 7.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Multiplicera -4 med 15.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Multiplicera -60 med -2.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 15}$$

Addera 49 till 120.

$$p=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 15}$$

Dra kvadratroten ur 169.

$$p=\frac{-7±13}{2\times 15}$$

Multiplicera 2 med 15.

$$p=\frac{-7±13}{30}$$

Lös nu ekvationen p=\frac{-7±13}{30} när ± är plus. Addera -7 till 13.

$$p=\frac{6}{30}$$

Minska bråktalet \frac{6}{30} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$p=\frac{1}{5}$$

Lös nu ekvationen p=\frac{-7±13}{30} när ± är minus. Subtrahera 13 från -7.

$$p=-\frac{20}{30}$$

Minska bråktalet \frac{-20}{30} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 10.

$$p=-\frac{2}{3}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med \frac{1}{5} och x_{2} med -\frac{2}{3}.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Subtrahera \frac{1}{5} från p genom att hitta en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Addera \frac{2}{3} till p genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\times \frac{3p+2}{3}$$

Multiplicera \frac{5p-1}{5} med \frac{3p+2}{3} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{5\times 3}$$

Multiplicera 5 med 3.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{15}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 15 i 15 och 15.

$$15p^{2}+7p-2=\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Beräkna

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$