Lös 15x^2-8x-16

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Faktorisera

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 15x^{2}+ax+bx-16. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -8.

$$a=-20 b=12$$

Skriv om 15x^{2}-8x-16 som \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

Utfaktor 5x i den första och den 4 i den andra gruppen.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-4 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Kvadrera -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Multiplicera -4 med 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Multiplicera -60 med -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Addera 64 till 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Dra kvadratroten ur 1024.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

Motsatsen till -8 är 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Multiplicera 2 med 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±32}{30} när ± är plus. Addera 8 till 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

Minska bråktalet \frac{40}{30} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 10.

$$x=\frac{4}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±32}{30} när ± är minus. Subtrahera 32 från 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Minska bråktalet \frac{-24}{30} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med \frac{4}{3} och x_{2} med -\frac{4}{5}.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Subtrahera \frac{4}{3} från x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Addera \frac{4}{5} till x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Multiplicera \frac{3x-4}{3} med \frac{5x+4}{5} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Multiplicera 3 med 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 15 i 15 och 15.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Beräkna

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$