Lös 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 15x^{2}+ax+bx-4. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Lösningen är det par som ger Summa 4.

$$a=-6 b=10$$

Skriv om 15x^{2}+4x-4 som \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 5x-2 genom att använda distributivitet.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Lös 5x-2=0 och 3x+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 15, b med 4 och c med -4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Kvadrera 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplicera -4 med 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplicera -60 med -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Addera 16 till 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Dra kvadratroten ur 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Multiplicera 2 med 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±16}{30} när ± är plus. Addera -4 till 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Minska bråktalet \frac{12}{30} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±16}{30} när ± är minus. Subtrahera 16 från -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Minska bråktalet \frac{-20}{30} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Subtraktion av -4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Subtrahera -4 från 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Dividera båda led med 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Division med 15 tar ut multiplikationen med 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Dividera \frac{4}{15}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{2}{15}. Addera sedan kvadraten av \frac{2}{15} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{2}{15} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Addera \frac{4}{15} till \frac{4}{225} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Subtrahera \frac{2}{15} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$