Lös 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 14x^{2}+ax+bx-15. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -29.

$$a=-35 b=6$$

Skriv om 14x^{2}-29x-15 som \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

Utfaktor 7x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Lös 2x-5=0 och 7x+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 14, b med -29 och c med -15 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Kvadrera -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Multiplicera -4 med 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Multiplicera -56 med -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Addera 841 till 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Dra kvadratroten ur 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

Motsatsen till -29 är 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Multiplicera 2 med 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{29±41}{28} när ± är plus. Addera 29 till 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Minska bråktalet \frac{70}{28} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{29±41}{28} när ± är minus. Subtrahera 41 från 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Minska bråktalet \frac{-12}{28} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Addera 15 till båda ekvationsled.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Subtraktion av -15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Subtrahera -15 från 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Dividera båda led med 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

Division med 14 tar ut multiplikationen med 14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Dividera -\frac{29}{14}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{29}{28}. Addera sedan kvadraten av -\frac{29}{28} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{29}{28} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Addera \frac{15}{14} till \frac{841}{784} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Addera \frac{29}{28} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$