Lös 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Lös ut n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 13n^{2}+an+bn-120. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -41.

$$a=-65 b=24$$

Skriv om 13n^{2}-41n-120 som \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Utfaktor 13n i den första och den 24 i den andra gruppen.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen n-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Lös n-5=0 och 13n+24=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 13, b med -41 och c med -120 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Kvadrera -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Multiplicera -4 med 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Multiplicera -52 med -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Addera 1681 till 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Dra kvadratroten ur 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Motsatsen till -41 är 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Multiplicera 2 med 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{41±89}{26} när ± är plus. Addera 41 till 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Dela 130 med 26.

$$n=5$$

Lös nu ekvationen n=\frac{41±89}{26} när ± är minus. Subtrahera 89 från 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Minska bråktalet \frac{-48}{26} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Ekvationen har lösts.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Addera 120 till båda ekvationsled.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Subtraktion av -120 från sig självt ger 0 som resultat.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Subtrahera -120 från 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Dividera båda led med 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Division med 13 tar ut multiplikationen med 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Dividera -\frac{41}{13}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{41}{26}. Addera sedan kvadraten av -\frac{41}{26} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{41}{26} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Addera \frac{120}{13} till \frac{1681}{676} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Faktorisera n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Förenkla.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Addera \frac{41}{26} till båda ekvationsled.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$