Lös 12345x^2+54321x-99999=0

$$12345 x ^ { 2 } + 54321 x - 99999 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{876524629} - 18107}{8230} \approx 1,397224621$$

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}\approx -5,797467635$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 12345, b med 54321 och c med -99999 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{54321^{2}-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Kvadrera 54321.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Multiplicera -4 med 12345.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-49380\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Multiplicera -49380 med -99999.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041+4937950620}}{2\times 12345}$$

Addera 2950771041 till 4937950620.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{7888721661}}{2\times 12345}$$

Dra kvadratroten ur 7888721661.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{2\times 12345}$$

Multiplicera 2 med 12345.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} när ± är plus. Addera -54321 till 3\sqrt{876524629}.

$$x=\frac{3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Dela -54321+3\sqrt{876524629} med 24690.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{876524629} från -54321.

$$x=\frac{-3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Dela -54321-3\sqrt{876524629} med 24690.

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Addera 99999 till båda ekvationsled.

$$12345x^{2}+54321x-99999-\left(-99999\right)=-\left(-99999\right)$$

Subtraktion av -99999 från sig självt ger 0 som resultat.

$$12345x^{2}+54321x=-\left(-99999\right)$$

Subtrahera -99999 från 0.

$$12345x^{2}+54321x=99999$$

Dividera båda led med 12345.

$$\frac{12345x^{2}+54321x}{12345}=\frac{99999}{12345}$$

Division med 12345 tar ut multiplikationen med 12345.

$$x^{2}+\frac{54321}{12345}x=\frac{99999}{12345}$$

Minska bråktalet \frac{54321}{12345} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{99999}{12345}$$

Minska bråktalet \frac{99999}{12345} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{33333}{4115}$$

Dividera \frac{18107}{4115}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{18107}{8230}. Addera sedan kvadraten av \frac{18107}{8230} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{33333}{4115}+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{18107}{8230} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{33333}{4115}+\frac{327863449}{67732900}$$

Addera \frac{33333}{4115} till \frac{327863449}{67732900} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{876524629}{67732900}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{876524629}{67732900}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{876524629}{67732900}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{18107}{8230}=\frac{\sqrt{876524629}}{8230} x+\frac{18107}{8230}=-\frac{\sqrt{876524629}}{8230}$$

Subtrahera \frac{18107}{8230} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$