Lös 120x^2+67x-5

$$120 x ^ { 2 } + 67 x - 5$$

Faktorisera

$$\left(15x-1\right)\left(8x+5\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 120x^{2}+ax+bx-5. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=67 ab=120\left(-5\right)=-600$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 67.

$$a=-8 b=75$$

Skriv om 120x^{2}+67x-5 som \left(120x^{2}-8x\right)+\left(75x-5\right).

$$\left(120x^{2}-8x\right)+\left(75x-5\right)$$

Utfaktor 8x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$8x\left(15x-1\right)+5\left(15x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 15x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(15x-1\right)\left(8x+5\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$120x^{2}+67x-5=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x=\frac{-67±\sqrt{67^{2}-4\times 120\left(-5\right)}}{2\times 120}$$

Kvadrera 67.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489-4\times 120\left(-5\right)}}{2\times 120}$$

Multiplicera -4 med 120.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489-480\left(-5\right)}}{2\times 120}$$

Multiplicera -480 med -5.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489+2400}}{2\times 120}$$

Addera 4489 till 2400.

$$x=\frac{-67±\sqrt{6889}}{2\times 120}$$

Dra kvadratroten ur 6889.

$$x=\frac{-67±83}{2\times 120}$$

Multiplicera 2 med 120.

$$x=\frac{-67±83}{240}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-67±83}{240} när ± är plus. Addera -67 till 83.

$$x=\frac{16}{240}$$

Minska bråktalet \frac{16}{240} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 16.

$$x=\frac{1}{15}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-67±83}{240} när ± är minus. Subtrahera 83 från -67.

$$x=-\frac{150}{240}$$

Minska bråktalet \frac{-150}{240} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 30.

$$x=-\frac{5}{8}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med \frac{1}{15} och x_{2} med -\frac{5}{8}.

$$120x^{2}+67x-5=120\left(x-\frac{1}{15}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{8}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$120x^{2}+67x-5=120\left(x-\frac{1}{15}\right)\left(x+\frac{5}{8}\right)$$

Subtrahera \frac{1}{15} från x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$120x^{2}+67x-5=120\times \frac{15x-1}{15}\left(x+\frac{5}{8}\right)$$

Addera \frac{5}{8} till x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$120x^{2}+67x-5=120\times \frac{15x-1}{15}\times \frac{8x+5}{8}$$

Multiplicera \frac{15x-1}{15} med \frac{8x+5}{8} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$120x^{2}+67x-5=120\times \frac{\left(15x-1\right)\left(8x+5\right)}{15\times 8}$$

Multiplicera 15 med 8.

$$120x^{2}+67x-5=120\times \frac{\left(15x-1\right)\left(8x+5\right)}{120}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 120 i 120 och 120.

$$120x^{2}+67x-5=\left(15x-1\right)\left(8x+5\right)$$

Beräkna

$$\left(15x-1\right)\left(8x+5\right)$$