Lös 12x-x^2=20

$$12 x - x ^ { 2 } = 20$$

Lös ut x

$$x=2$$

$$x=10$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 20 från båda led.

$$12x-x^{2}-20=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-x^{2}+12x-20=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx-20. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=12 ab=-\left(-20\right)=20$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Lösningen är det par som ger Summa 12.

$$a=10 b=2$$

Skriv om -x^{2}+12x-20 som \left(-x^{2}+10x\right)+\left(2x-20\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(2x-20\right)$$

Utfaktor -x i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$-x\left(x-10\right)+2\left(x-10\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-10 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-10\right)\left(-x+2\right)$$

Lös x-10=0 och -x+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=10 x=2$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+12x=20$$

Subtrahera 20 från båda ekvationsled.

$$-x^{2}+12x-20=20-20$$

Subtraktion av 20 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+12x-20=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 12 och c med -20 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-1\right)\left(-20\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-1\right)\left(-20\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+4\left(-20\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -20.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-80}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 144 till -80.

$$x=\frac{-12±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 64.

$$x=\frac{-12±8}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-12±8}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-12±8}{-2} när ± är plus. Addera -12 till 8.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Dela -4 med -2.

$$x=2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-12±8}{-2} när ± är minus. Subtrahera 8 från -12.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Dela -20 med -2.

$$x=10$$

Ekvationen har lösts.

$$x=2 x=10$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+12x=20$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+12x}{-1}=\frac{20}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{12}{-1}x=\frac{20}{-1}$$

Dela 12 med -1.

$$x^{2}-12x=\frac{20}{-1}$$

Dela 20 med -1.

$$x^{2}-12x=-20$$

Dividera -12, koefficienten för termen x, med 2 för att få -6. Addera sedan kvadraten av -6 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-20+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrera -6.

$$x^{2}-12x+36=-20+36$$

Addera -20 till 36.

$$x^{2}-12x+36=16$$

Faktorisera x^{2}-12x+36. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-6\right)^{2}=16$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Förenkla.

$$x-6=4 x-6=-4$$

Addera 6 till båda ekvationsled.

$$x=10 x=2$$