Lös 12x^2-64x+67=0

$$12 x ^ { 2 } - 64 x + 67 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}\approx 3,902699748$$

$$x=-\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}\approx 1,430633585$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$12x^{2}-64x+67=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 12, b med -64 och c med 67 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 12\times 67}}{2\times 12}$$

Kvadrera -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 12\times 67}}{2\times 12}$$

Multiplicera -4 med 12.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-48\times 67}}{2\times 12}$$

Multiplicera -48 med 67.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-3216}}{2\times 12}$$

Addera 4096 till -3216.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{880}}{2\times 12}$$

Dra kvadratroten ur 880.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±4\sqrt{55}}{2\times 12}$$

Motsatsen till -64 är 64.

$$x=\frac{64±4\sqrt{55}}{2\times 12}$$

Multiplicera 2 med 12.

$$x=\frac{64±4\sqrt{55}}{24}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{64±4\sqrt{55}}{24} när ± är plus. Addera 64 till 4\sqrt{55}.

$$x=\frac{4\sqrt{55}+64}{24}$$

Dela 64+4\sqrt{55} med 24.

$$x=\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{64±4\sqrt{55}}{24} när ± är minus. Subtrahera 4\sqrt{55} från 64.

$$x=\frac{64-4\sqrt{55}}{24}$$

Dela 64-4\sqrt{55} med 24.

$$x=-\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3} x=-\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-64x+67=0$$

Subtrahera 67 från båda ekvationsled.

$$12x^{2}-64x+67-67=-67$$

Subtraktion av 67 från sig självt ger 0 som resultat.

$$12x^{2}-64x=-67$$

Dividera båda led med 12.

$$\frac{12x^{2}-64x}{12}=-\frac{67}{12}$$

Division med 12 tar ut multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{12}\right)x=-\frac{67}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-64}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{67}{12}$$

Dividera -\frac{16}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{8}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{8}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{67}{12}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{8}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{67}{12}+\frac{64}{9}$$

Addera -\frac{67}{12} till \frac{64}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{55}{36}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{55}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{55}{36}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{\sqrt{55}}{6} x-\frac{8}{3}=-\frac{\sqrt{55}}{6}$$

Addera \frac{8}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3} x=-\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}$$