Lös 12x^2-12x-6=0

$$12 x ^ { 2 } - 12 x - 6 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 12, b med -12 och c med -6 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrera -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicera -4 med 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicera -48 med -6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+288}}{2\times 12}$$

Addera 144 till 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{432}}{2\times 12}$$

Dra kvadratroten ur 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Motsatsen till -12 är 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Multiplicera 2 med 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} när ± är plus. Addera 12 till 12\sqrt{3}.

$$x=\frac{12\sqrt{3}+12}{24}$$

Dela 12+12\sqrt{3} med 24.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} när ± är minus. Subtrahera 12\sqrt{3} från 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{3}}{24}$$

Dela 12-12\sqrt{3} med 24.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Addera 6 till båda ekvationsled.

$$12x^{2}-12x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Subtraktion av -6 från sig självt ger 0 som resultat.

$$12x^{2}-12x=-\left(-6\right)$$

Subtrahera -6 från 0.

$$12x^{2}-12x=6$$

Dividera båda led med 12.

$$\frac{12x^{2}-12x}{12}=\frac{6}{12}$$

Division med 12 tar ut multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{12}\right)x=\frac{6}{12}$$

Dela -12 med 12.

$$x^{2}-x=\frac{6}{12}$$

Minska bråktalet \frac{6}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Addera \frac{1}{2} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$