Lös 12x^2+60x+75=0

$$12 x ^ { 2 } + 60 x + 75 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 3.

$$4x^{2}+20x+25=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx+25. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=20 ab=4\times 25=100$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Lösningen är det par som ger Summa 20.

$$a=10 b=10$$

Skriv om 4x^{2}+20x+25 som \left(4x^{2}+10x\right)+\left(10x+25\right).

$$\left(4x^{2}+10x\right)+\left(10x+25\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$2x\left(2x+5\right)+5\left(2x+5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x+5 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x+5\right)\left(2x+5\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(2x+5\right)^{2}$$

Lös 2x+5=0 för att hitta ekvationslösning.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$12x^{2}+60x+75=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 12, b med 60 och c med 75 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 12\times 75}}{2\times 12}$$

Kvadrera 60.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 12\times 75}}{2\times 12}$$

Multiplicera -4 med 12.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-48\times 75}}{2\times 12}$$

Multiplicera -48 med 75.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 12}$$

Addera 3600 till -3600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$x=-\frac{60}{2\times 12}$$

Multiplicera 2 med 12.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Minska bråktalet \frac{-60}{24} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 12.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+60x+75=0$$

Subtrahera 75 från båda ekvationsled.

$$12x^{2}+60x+75-75=-75$$

Subtraktion av 75 från sig självt ger 0 som resultat.

$$12x^{2}+60x=-75$$

Dividera båda led med 12.

$$\frac{12x^{2}+60x}{12}=-\frac{75}{12}$$

Division med 12 tar ut multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\frac{60}{12}x=-\frac{75}{12}$$

Dela 60 med 12.

$$x^{2}+5x=-\frac{75}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-75}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}+5x=-\frac{25}{4}$$

Dividera 5, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{5}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{5}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{5}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{-25+25}{4}$$

Addera -\frac{25}{4} till \frac{25}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=0$$

Faktorisera x^{2}+5x+\frac{25}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=0$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Förenkla.

$$x+\frac{5}{2}=0 x+\frac{5}{2}=0$$

Subtrahera \frac{5}{2} från båda ekvationsled.

$$x=-\frac{5}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Ekvationen har lösts. Lösningarna är samma.

$$x=-\frac{5}{2}$$