Lös 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Lös ut r

$$r=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 12r^{2}+ar+br-15. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Lösningen är det par som ger Summa -11.

$$a=-20 b=9$$

Skriv om 12r^{2}-11r-15 som \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Utfaktor 4r i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3r-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Lös 3r-5=0 och 4r+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 12, b med -11 och c med -15 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrera -11.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicera -4 med 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicera -48 med -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Addera 121 till 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Dra kvadratroten ur 841.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

Motsatsen till -11 är 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Multiplicera 2 med 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{11±29}{24} när ± är plus. Addera 11 till 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

Minska bråktalet \frac{40}{24} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 8.

$$r=\frac{5}{3}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{11±29}{24} när ± är minus. Subtrahera 29 från 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Minska bråktalet \frac{-18}{24} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Addera 15 till båda ekvationsled.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Subtraktion av -15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Subtrahera -15 från 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Dividera båda led med 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

Division med 12 tar ut multiplikationen med 12.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Minska bråktalet \frac{15}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Dividera -\frac{11}{12}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{11}{24}. Addera sedan kvadraten av -\frac{11}{24} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{11}{24} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Addera \frac{5}{4} till \frac{121}{576} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Faktorisera r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Förenkla.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Addera \frac{11}{24} till båda ekvationsled.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$