Lös 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Lös ut n

$$n=6$$

$$n=15$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 12 med n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Subtrahera 30 från -48 för att få -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Subtrahera n^{2} från båda led.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Lägg till 9n på båda sidorna.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Slå ihop 12n och 9n för att få 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Subtrahera 12 från båda led.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Subtrahera 12 från -78 för att få -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -n^{2}+an+bn-90. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Lösningen är det par som ger Summa 21.

$$a=15 b=6$$

Skriv om -n^{2}+21n-90 som \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Utfaktor -n i den första och den 6 i den andra gruppen.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen n-15 genom att använda distributivitet.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Lös n-15=0 och -n+6=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$n=15 n=6$$

Steg med lösningsformeln

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 12 med n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Subtrahera 30 från -48 för att få -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Subtrahera n^{2} från båda led.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Lägg till 9n på båda sidorna.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Slå ihop 12n och 9n för att få 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Subtrahera 12 från båda led.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Subtrahera 12 från -78 för att få -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 21 och c med -90 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 21.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 441 till -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-21±9}{-2} när ± är plus. Addera -21 till 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Dela -12 med -2.

$$n=6$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-21±9}{-2} när ± är minus. Subtrahera 9 från -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Dela -30 med -2.

$$n=15$$

Ekvationen har lösts.

$$n=6 n=15$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 12 med n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Subtrahera 30 från -48 för att få -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Subtrahera n^{2} från båda led.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Lägg till 9n på båda sidorna.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Slå ihop 12n och 9n för att få 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Lägg till 78 på båda sidorna.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Addera 12 och 78 för att få 90.

$$21n-n^{2}=90$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Dela 21 med -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Dela 90 med -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Dividera -21, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{21}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{21}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{21}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Addera -90 till \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktorisera n^{2}-21n+\frac{441}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Förenkla.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Addera \frac{21}{2} till båda ekvationsled.

$$n=15 n=6$$