Lös 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Faktorisera

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 12z^{2}+az+bz-12. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Lösningen är det par som ger Summa -7.

$$a=-16 b=9$$

Skriv om 12z^{2}-7z-12 som \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Utfaktor 4z i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3z-4 genom att använda distributivitet.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrera -7.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicera -4 med 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicera -48 med -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Addera 49 till 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Dra kvadratroten ur 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

Motsatsen till -7 är 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Multiplicera 2 med 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{7±25}{24} när ± är plus. Addera 7 till 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Minska bråktalet \frac{32}{24} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 8.

$$z=\frac{4}{3}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{7±25}{24} när ± är minus. Subtrahera 25 från 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Minska bråktalet \frac{-18}{24} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med \frac{4}{3} och x_{2} med -\frac{3}{4}.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Subtrahera \frac{4}{3} från z genom att hitta en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Addera \frac{3}{4} till z genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Multiplicera \frac{3z-4}{3} med \frac{4z+3}{4} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Multiplicera 3 med 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 12 i 12 och 12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Beräkna

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$