Lös 12x^2-21x+1=0

$$12 { x }^{ 2 } -21x+1=0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8}\approx 1,701009483$$

$$x=-\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8}\approx 0,048990517$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$12x^{2}-21x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 12, b med -21 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 12}}{2\times 12}$$

Kvadrera -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 12}}{2\times 12}$$

Multiplicera -4 med 12.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-48}}{2\times 12}$$

Addera 441 till -48.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{393}}{2\times 12}$$

Motsatsen till -21 är 21.

$$x=\frac{21±\sqrt{393}}{2\times 12}$$

Multiplicera 2 med 12.

$$x=\frac{21±\sqrt{393}}{24}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{21±\sqrt{393}}{24} när ± är plus. Addera 21 till \sqrt{393}.

$$x=\frac{\sqrt{393}+21}{24}$$

Dela 21+\sqrt{393} med 24.

$$x=\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{21±\sqrt{393}}{24} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{393} från 21.

$$x=\frac{21-\sqrt{393}}{24}$$

Dela 21-\sqrt{393} med 24.

$$x=-\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8} x=-\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-21x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$12x^{2}-21x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$12x^{2}-21x=-1$$

Dividera båda led med 12.

$$\frac{12x^{2}-21x}{12}=-\frac{1}{12}$$

Division med 12 tar ut multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{12}\right)x=-\frac{1}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-21}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{1}{12}$$

Dividera -\frac{7}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{12}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{1}{12}+\frac{49}{64}$$

Addera -\frac{1}{12} till \frac{49}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{131}{192}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{131}{192}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{131}{192}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{393}}{24} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{393}}{24}$$

Addera \frac{7}{8} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8} x=-\frac{\sqrt{393}}{24}+\frac{7}{8}$$