Lös 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1,157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3,2405458$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 12, b med 25 och c med -45 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrera 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicera -4 med 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicera -48 med -45.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

Addera 625 till 2160.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

Multiplicera 2 med 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} när ± är plus. Addera -25 till \sqrt{2785}.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{2785} från -25.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Addera 45 till båda ekvationsled.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Subtraktion av -45 från sig självt ger 0 som resultat.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

Subtrahera -45 från 0.

$$12x^{2}+25x=45$$

Dividera båda led med 12.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

Division med 12 tar ut multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

Minska bråktalet \frac{45}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

Dividera \frac{25}{12}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{25}{24}. Addera sedan kvadraten av \frac{25}{24} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{25}{24} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

Addera \frac{15}{4} till \frac{625}{576} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

Subtrahera \frac{25}{24} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$